다음수 함수
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1. 개요
다음수 함수는 페아노 공리계에서 자연수를 정의하는 데 사용되는 함수이다. 덧셈보다 기본적인 연산으로 취급되며, 0을 포함하는 자연수를 정의하는 데 사용된다. 1은 S(0)으로 정의되며, 덧셈은 재귀적으로 정의된다. 집합론적 정의에서는 0을 공집합으로, 다음수 S(x)를 x ∪ {x}로 정의한다. 다음수 함수는 하이퍼 연산의 0단계 기본 함수이며, 덧셈, 곱셈, 거듭제곱 등을 만드는 데 사용되며, 재귀 함수에 의한 계산 가능성 특정화에 사용되는 원시 재귀 함수 중 하나이다.
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| 다음수 함수 | |
|---|---|
| 일반 정보 | |
| 이름 | 다음수 함수 |
| 다른 이름 | 사상 함수 증분 함수 |
| 영어 이름 | Successor function |
| 정의 | |
| 정의 | 어떤 자연수 n에 대해 n+1을 반환하는 연산 |
| 표기법 | S(n) = n + 1 (∀n) |
| 예시 | |
| 예시 | H₀(a, b) := 1 + b |
| 관련 개념 | |
| 관련 개념 | 페아노 공리계 |
2. 페아노 공리계에서의 정의
다음수 함수는 자연수를 정의하는 페아노 공리계에서 기본적인 연산으로 사용된다.[1] 페아노 공리계에서는 덧셈보다 다음수 함수가 먼저 정의되며, 이를 이용해 0을 제외한 모든 자연수를 구성한다. 예를 들어, 1은 다음수 함수 ''S''를 0에 적용한 ''S''(0)으로 정의된다.[1]
집합론을 기반으로 자연수를 구성하는 방식도 있다. 존 폰 노이만은 숫자 0을 공집합 {}으로 정의하고, 임의의 자연수 ''n''의 다음수 ''S''(''n'')을 집합 ''n'' ∪ {''n''}으로 정의하는 방법을 제안했다.[2] 무한 공리는 0을 포함하며 다음수 연산 ''S''에 대해 닫혀있는 집합 '''N'''(자연수의 집합)의 존재를 보장하며, 이 집합 '''N'''의 원소들을 자연수라고 부른다.[5]
2. 1. 덧셈과의 관계
다음수 함수는 자연수를 정의하는 페아노 공리계에서 사용된다.[1] 이 공리계에서는 덧셈이 먼저 정의되는 것이 아니라, 다음수 함수를 통해 0보다 큰 모든 자연수와 덧셈 연산 자체가 정의된다. 예를 들어, 숫자 1은 다음수 함수를 0에 적용한 ''S''(0)으로 정의된다.자연수의 덧셈은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다:[1]
| 식 | 정의 |
|---|---|
| m + 0 | m |
| m + S(n) | S(m + n) |
자연수를 집합론에 기반하여 구성하는 여러 방법이 제안되었다. 그중 존 폰 노이만이 제시한 방식이 널리 알려져 있는데, 이는 수학기초론에서 중요한 접근법 중 하나이다.[2] 이 방식은 자연수를 순차적인 집합으로 정의하며, 무한 공리는 이러한 방식으로 정의된 자연수 전체의 집합이 존재함을 보장하는 데 사용된다.
이 정의를 이용하면 임의의 두 자연수의 덧셈을 계산할 수 있다. 예를 들어, 5 + 2는 다음과 같이 계산된다:[1]
5 + 2 = 5 + ''S''(1) = ''S''(5 + 1) = ''S''(5 + ''S''(0)) = ''S''(''S''(5 + 0)) = ''S''(''S''(5)) = ''S''(6) = 7
또한 다음수 함수는 하이퍼 연산의 무한 계층(덧셈, 곱셈, 거듭제곱, 테트레이션 등)을 구축하는 가장 기본적인 연산(0단계)으로 간주된다.[3] 더 나아가, 다음수 함수는 계산 가능성을 계산 가능한 함수로 특징지을 때 사용되는 기본적인 원시 재귀 함수 중 하나이다.
3. 집합론적 구성
3. 1. 무한 공리
자연수를 집합론에 기반하여 구성할 때, 일반적인 접근 방식은 숫자 0을 공집합 {}으로 정의하고, 다음수 ''S''(''x'')를 ''x'' ∪ { ''x'' }로 정의하는 것이다. 무한 공리는 0을 포함하고 다음수 함수 ''S''에 대해 닫혀 있는 집합 ℕ의 존재를 보장한다. 이 집합 ℕ의 원소들을 자연수라고 부른다.[5]
4. 하이퍼 연산과의 관계
다음수 함수는 하이퍼 연산의 무한 계층에서 0단계 기초이다.[3] 하이퍼 연산은 덧셈, 곱셈, 거듭제곱, 테트레이션 등으로 이어지는 연산의 계층을 일반화한 것이다. 즉, 다음수 연산을 반복하여 덧셈을 정의하고, 덧셈을 반복하여 곱셈을 정의하는 방식으로 더 높은 단계의 연산을 구축해 나갈 수 있다.
또한, 다음수 함수는 계산 가능성을 계산 가능 함수로 특징짓는 데 사용되는 기본적인 원시 재귀 함수 중 하나이다.
5. 계산 가능성 이론
다음수 함수는 계산 가능성 이론에서 중요한 역할을 수행한다. 이 함수는 계산 가능 함수를 정의하고 그 성질을 연구하는 데 사용되는 기본적인 함수 중 하나로, 특히 원시 재귀 함수의 하나로 분류된다. 즉, 어떤 함수가 계산 가능하다는 것을 형식적으로 정의하고 증명하는 과정에서 다음수 함수가 기초적인 구성 요소로 활용되는 것이다.
참조
[1]
서적
Mathematical Foundations of Advanced Informatics—Volume 1: Inductive Approaches
https://books.google[...]
Springer
[2]
문서
Halmos, Chapter 11
[3]
웹사이트
Ackermann's Function and New Arithmetical Operations
http://www.rotarysal[...]
2004
[4]
웹사이트
再帰的関数論
http://www.kurims.ky[...]
京都大学数理解析研究所
2017-11-27
[5]
문서
Halmos, Chapter 11
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